LÓGICA PROPOSICIONAL

TEMA: LÓGICA PROPOSICIONAL

Objetivos:  -  Reconocer a la lógica como proceso imprescindible en las demostraciones matemáticas.

-    Resolver adecuadamente proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.

-    Dada una proposición, establecer cuándo es una tautología, contradicción y contingencia.

-    Desarrollar la capacidad de pensar mediante el empleo de proposiciones y conectivos lógicos  

    

La lógica es la ciencia que se encarga del estudio de los métodos y las leyes que determinan la validez de una inferencia.

ENUNCIADO: Es toda frase u oración que expresa alguna idea.

Pueden ser mandatos, interrogaciones, expresiones de emoción; otros enunciados en cambio, son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdaderos o falsos.

Ejemplo:

Ø  ¿Cómo estás?

Ø  ¡Detente!

Ø  Disculpe, hombres trabajando.

Ø  Lima es la capital de Perú.

PROPOSICIONES: Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con letras minúsculas del abecedario: p, q, r, s.

Ejemplo 1:    Son proposiciones:

·      P: Todas las aves son mamíferos                                                …… F

·      q: La neurona es la unidad biológica del sistema nervioso        …… V

·      r: 4³ = 64                                                                                    …… V

No son proposiciones:

· ¡A jugar!

· ¿Te encuentras bien?

· Por favor, siéntate.

PROPOSICIÓN SIMPLE: Es una proposición que no presenta conjunciones gramaticales ni adverbio de negación.

Ejemplos:

o   16 es múltiplo de 4.

o   César Vallejo fue escritor

PROPOSICIÓN COMPUESTA: Está formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectores lógicos o por el adverbio de negación.

Ejemplos:

o   17 es un número primo y 6 es un número par.

o   El 4 o 5 son divisores de 60.

CONECTORES LÓGICOS: Son símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta.

Ejemplo:  Lima es la capital del Perú y Madrid es la capital de España.                  

                                                               

La negación es un tipo de proposición compuesta que cambia el valor de verdad de la proposición original.

OPERACIONES LÓGICAS: Se denominan combinando las proposiciones simples con los conectores lógicos.

TABLAS DE VERDAD: Son representaciones gráficas en forma de arreglos, que nos permiten analizar los posibles valores de verdad que pueden tener una proposición simple o compuesta.

            En general, para “n” proposiciones el número total de formas posibles en que se pueden presentar los valores es 2ⁿ.

Luego se tienen las siguientes tablas de verdad:

EJEMPLO:

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES

           Consiste en obtener el valor o los valores del conjunto lógico de mayor jerarquía a partir de los valores veritativos de cada una de las variables proposicionales.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

Ø  TAUTOLOGÍA: Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por “V”

Ejemplo: La proposición: “P   ------->   (p _{˅ q )” es una tautología?}

P            q	--->       P                     (p ˅ q )
V            V	V         V               V
V            F	V         V               V
F            V	F         V               V
F            F	F         V               F

                                              

               

            

            Entonces: “P               (p _{˅ q )”}   =  V

Ø  CONTRADICCIÓN: Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso, (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por F.

Ejemplo: La proposición   ” (p ˄ q ) ˄ ^˷ q”  es una contradicción?

P            q	(p  ˄  q ) ˄     ˷   q
V            V	V            F            F
V            F	F            F            V
F            V	F            F            F
F            F	F            F           V

Entonces: La proposición     (p  ˄  q ) ˄   ^˷ q   = F

Ø  CONTINGENCIA: Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un verdadero (V) y un falso (F).

Ejemplo:  La proposición  “  (p  ˅  q )   ------>          ^˷ p  es una contingencia?

P            q	--->(p  ˅  q )                  ˷ p
V            V	V            F             F
V            F	V            F             F
F            V	V            V            V
F            F	F            V             V

Entonces: La proposición  “  (p  ˅  q )   ------>   ^˷ p   = es una contingencia.

Vamos a plantear ahora las EQUIVALENCIAS LÓGICAS más importantes que tú bien puedes demostrar empleando TABLAS DE VERDAD y que nos servirán para simplificar proposiciones compuestas muy complejas e incluso para simplificar circuitos lógicos. Estas EQUIVALENCIAS son:

ACTIVIDADES

1.       De las expresiones siguientes, indicar cuántas son proposiciones:

·         La capital del Perú es Ica.

·           ¿Cómo es un animal.

·         El día tiene 24 horas

·         Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales en longitud.

a) 1                  b)2                  c)3          d)4         e)5

        2.       Debes recordar que las proposiciones pueden ser simples o compuestas, según esto indica

Cuántas de las que se presentan son simples:

·       Si 8 es par entonces 9 es impar.

·      No es cierto que el día tiene 24 horas

·      La capital del Perú es Lima.

·      Existen únicamente 20 polígonos regulares.

·      150 es múltiplo de 5 y 49 múltiplo de 6.

a)1             b)2                         c)3          d)4         e)5

3.       ¿Cuántas de las proposiciones no son simples?

·      Si hoy es lunes entonces se inicia  la semana

·      Todas las semanas tienen 7 días.

·      No es cierto que todas las semanas tienen 7 días

·      Si la semana no tiene 7 días, entonces tiene 6.

·      Todas las semanas tienen más de 3 días.

a)1             b)2         c)3          d)4         e)5

4.       Indicar la negación de la proposición lógica siguiente:

                                  “Todo el paquete tiene muchas sorpresas”

a)     No todo el paquete tiene muchas sorpresas.

b)    Nada del paquete tiene muchas sorpresas.

c)       Todo el paquete no tenía sorpresas.

d)    No todo el paquete no tenía muchas sorpresas.

e)      Ningún paquete tenía muchas sorpresas.

       TAREA